시간 영역의 신호를 주파수 영역으로 변환하여 처리나 해석하는 이론이 푸리에 변환 Fourier Transform 입니다. 신호처리 분야에서 주파수 영역 분석을 위한 중요한 이론이기도 합니다. 영상처리에서는 이미지를 2차원 신호로 보고 푸리에 변환을 이용할 수 있으며, 이미지 공간 정보를 주파수 성분으로 바꾸어 분석할 수 있습니다. 분석을 통한 응용은 이미지 필터링, 압축, 복원등에 활용됩니다.
푸리에 변환은 이론적으로 4가지 형식으로 구분됩니다. 영상처리에 활용되는 기법은 이산 푸리에 변환 DFT (Discrete Fourier Transform) 입니다. 아래는 2차원 이산 푸리에 변환 수식이며 오일러 공식과 결합된 형태 입니다.
여기서 f(x,y)는 원본 이미지의 픽셀 값, F(u,v)는 주파수 평면에서의 값, M과 N은 이미지 크기인 Width와 Height 입니다. 추가로 푸리에 변환 요소에는 각 주파수 성분의 세기를 나타내는 크기 Magnitude와 성분의 위치 정보를 나타내는 위상 Phase 정보가 있으며, 위상 정보는 이미지의 구조를 유지하는데 중요한 요소입니다.
이미지를 푸리에 변환하면 최종 주파수 영역에 중심에는 저주파, 바깥쪽에는 고주파로 구성됩니다. 고주파는 이미지에서 물체의 윤곽선과 같은 에지 Edge 성분들을 의미하고 저주파는 물체의 전반적인 형태를 나타냅니다. 따라서 응용에서는 이러한 특징을 이용하여 저역통과 Low-pass 필터링 및 고역통과 High-pass 필터링을 통해 이미지의 경계 강조나 블러 효과를 낼 수 있습니다. 이미지 압축에서는 고주파 성분이 적으면 적을 수록 작은 정보만으로 이미지 재구성이 가능해지며, 대표적으로 JPEG 손실 압축 알고리즘에서 푸리에 이론의 일종인 이산 코사인 변환 DCT(Discrete Cosine Transform)을 사용합니다.
코드를 통해 푸리에 활용 방법을 확인해 보겠습니다. 실무에서는 C/C++, Python, Matlab 등 알고리즘 구현시 FFT (Fast Fourier Transform)을 이용합니다. DFT의 계산 복잡도 때문에 FFT를 활용하게 되며, 예를 들어 샘플 수가 N=1024일 때 DFT는 약 100만번의 연산이 필요한 반면 FFT는 10,000번의 연산이 필요합니다. 아래와 같이 파이썬 Numpy에서는 “np.fft.fft2” 함수를 사용하여 이미지 평면을 주파수 평면으로 변환하며, “np.fft.fftshift” 함수를 통해 저주파 성분을 중심으로 이동 시킵니다. 반대로 주파수 평면에서 이미지 평면으로 변환 시, “np.fft.ifftshift” > “np.fft.ifft2” 함수 순으로 적용할 수 있습니다.
FFT의 이론 및 응용에 대해서는 추후 예와 함께 좀더 상세히 다루도록 하겠습니다.
import cv2
import numpy as np
# 이미지 불러오기 (그레이스케일)
img = cv2.imread('lena.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
f = np.fft.fft2(img) # 푸리에 FFT 변환
fshift = np.fft.fftshift(f) # 중심 이동
magnitude_spectrum = 20 * np.log(np.abs(fshift)) # 주파수 스펙트럼 확인
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift_filtered) # 중심 복원
img_ifft = np.fft.ifft2(f_ishift) # 역 FFT 적용
# 실수 이미지 변환
img_re = np.abs(img_ifft)
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